A geometria egyik alaptétele ? Euklidesz ötödik posztulátuma – egyértelműen kimondja, hogy a párhuzamosok olyan egyenesek, amelyek soha nem találkoznak. Ha igen, akkor is csak a végtelenben. Vele szemben a filozófusok úgy okoskodnak, hogy ha egyszer eljutunk a végtelenbe, akkor az lesz számunkra a valós világ, vagyis jelenlegi helyünk veszi át a végtelen szerepét. Ahol mégiscsak összeérhetnek a párhuzamosok. Hogy ez mennyire igaz, bízzuk a bölcselettudomány képviselőire, viszont a párhuzamosokkal foglalkozó két tudós, a geometria két évezredes tudományának megújítói, a nem-euklideszi geometria kidolgozói, Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij párhuzamosan élték le életüket, soha nem találkoztak, ezzel szemben haláluk után végül is kettejük munkássága olyannyira összefonódott, hogy a szakirodalom korszakalkotó felfedezésüket Bolyai-Lobacsevszkij geometria néven tárgyalja.

Tevékenységük tárgyához méltóan még születésük időpontja is a számmisztikát juttatja eszünkbe: az orosz zseni napra pontosan tíz évvel és két héttel volt idősebb magyar társánál: százhúsz évvel ezelőtt, 1892. december 1.-én született, míg Bolyai János száztíz éve, 1802. december 15.-én látta meg a napvilágot.

Kettejük közül természetesen ez utóbbiról tudunk többet: Bolyai Farkas matematikus, a kor legnagyobb zsenijének kikiáltott Carl Friedrich Gauss jó barátjának a fia volt, aki édesapjától tanulta meg a tudomány, a bajvívás és a tánc fortélyait ? mindketten a táncparkett ördögének számítottak. Mivel nem volt annyi anyagi fedezetük, hogy Göttingába mehessen, Gausshoz tanulni, a bécsi tüzérségi akadémia hallgatója lett. Bár a katonai fegyelemért az ifjú Bolyai nem nagyon lelkesedett, de elfogadta a lehetőséget, tekintve, hogy ebben az időben a monarchiában itt volt a legjobb matematikaoktatás. Felvételi vizsgája oly kiválóan sikerült, hogy a hatéves intézmény negyedik évfolyamában kezdhetett. A következő évfolyamban már a legjobbak között volt, amivel elnyerte az akadémia parancsnoka, János főherceg támogatását. A hatodik évfolyamot a második legjobb eredménnyel végezte, ezért azok között volt, akiket még egy évig felsőbb műszaki képzésben részesítettek. Eközben még arra is maradt ideje, hogy matematikai kérdésekkel foglalkozzon.

Bolyai “paralellái”

Édesapja óva intette a ?paralellákkal?, vagyis a párhuzamosokkal való foglalatoskodástól. Ez persze csak olaj volt a tűzre, annál inkább ezt tette. Nagy érdeklődéssel figyelte töprengéseit akadémiai matematikatanára, Johann Walter von Eckwehr. Sokkal szorosabb viszonyt ápolt Szász Károllyal, a nagyenyedi kollégium későbbi matematika- és fizika tanárával, akivel közösen kezdtek azon gondolkodni, hogy a párhuzamosokról szóló ötödik posztulátumot a végtelen sugarú körrel helyettesítsék. Akadémiai tanulmányait 1823-ban fejezte be alhadnagyi rangban. A temesvári erődítési munkákhoz vezényelték. Ekkor írta édesapjának a híres mondatot ?Semmiből egy ujj más világot teremtettem? mind az, valamit eddig küldöttem, tsak kártyavár a´toronyhoz képest?. Csakhogy apja ekkor még nem volt felkészülve a gyökeresen új gondolatok befogadására, ami a fiában nagy csalódást keltett. 1826-ban aztán elküldte kidolgozott elméletét tanárának, Eckwehrnek. Az anyag elveszett, nem tudható, hogy mi volt a válasza. Végül is 1832-ben jelent meg nyomtatásban Bolyai Farkas főműve, a Tentámen három függelékének egyikeként, emiatt a szó latin megfelelőjéből Appendix lett a neve.

Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij

A Nyizsnij Novgorodban született Lobacsevszkij matematikai tehetsége gimnazista korában mutatkozott meg. A családot ért tragédiát követően ? nyolcévesen elvesztette édesapját ? két fivérével és édesanyjával együtt az orosz matematika egyik fellegvárába, Kazányba költöztek, ahol tanárai, rendkívüli intellektusát felismerve, tizenöt évesen – 1807-ben – áttették az egyetem matematika-fizika szakos hallgatói közé, ahol tizenkilenc éves korában megkapta a magiszteri címet, ezt követően az egyetemen maradt. 1814-ben kinevezték oktatónak, majd 1827-ben, tehát mindössze huszonöt éves korában az egyetem rektora lett.

A párhuzamosokkal 1815-től foglalkozott, de csak 1823 után fogalmazta meg a ?képzelt geometria? elméletét. A nem-euklideszi geometria alapjait az egyetem fizika-matematika karának 1826. február 12-i tudományos ülésén fejtette ki először. Ebben az előadásában, melynek kézirata nem maradt fenn, ismertette egy olyan, az euklideszinél általánosabb geometria alapjait, amelyben egy egyeneshez egy külső ponton keresztül két párhuzamos húzható és amelyben a háromszögek szögeinek összege kisebb két derékszögnél, vagyis száznyolcvan foknál. Később publikált egy értekezést a Kazányi Hírnök 1829-30. évfolyamában A geometria alapjainak rövid összefoglalása címmel, mely az egykori előadás rövidített változatát, valamint az új elméletnek további alkalmazásait tartalmazza.

A kor viszonyai, a hírtovábbítás nehézkessége és a két tudós elszigeteltsége miatt egyértelmű, hogy nem volt tudomásuk egymás tevékenységéről. Ráadásul gyökeresen eltérő módszert is választottak.

Bolyai Farkas 1848-ban megszerzi Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij hiperbolikus térelméletét, hogy megmutassa fiának. Az orosz zseni hiperboloid felületek segítségével bizonyítja be, hogy a háromszög szögeinek összege nem feltétlenül száznyolcvan fok és hogy párhuzamosok sincsenek az ilyen síkban. Bolyai János viszont a síkban felvett párhuzamosokkal dolgozott, arra jutva, hogy ezek ugyancsak metszhetik egymást, ha a sík nem tökéletes. Vagyis nála a sík csak határesetként szerepel. Ezzel több, mint kétezer éves elméleten, az euklideszi geometrián léptek túl mindketten, megalkották a térfelületek geometriáját.

Amikor kiderült, hogy mekkora jelentősége van felismerésüknek, kitört az elsőbbségi vita. Ezért érdemes rögzíteni a tényeket: Bolyai 1823-ban írja meg elméletét apjának, 1826-ban küldte el bécsi tanárának. A kézirat elveszett. Lobacsevszkij elméletét 1826-ban nyújtotta be a kazányi egyetemen. Ez a kézirat is elveszett. Lobacsevszkij a Kazanyszkij Vesztnyik 1829-30-as évfolyamában közölte felismeréseit. Az Appendix különnyomata 1831-ben jelent meg. Bizonyítható, hogy egész Európában ekkor még nem ismerték Lobacsevszijt. Ráadásul gyökeresen eltér a két megoldás egymástól.

A vita, évtizedek múltán, valójában happy enddel végződött: 1894-ben nemzetközi konferenciát tartottak A matematikai tudományok bibliográfiájáról címen, a kor egyik legnagyobb elméleti szakembere, Henri Poincaré elnökletével, ezen az egyik tárgykör címe ?Géométrie de Bolyai et Lobatschewsky? volt. Ezzel összeforrt a nevük, mindkettejük munkásságát egyaránt elismerte a tudós társadalom.

De ekkor már mindketten örök álmukat aludták: Bolyai egy hónappal ötvenhetedik születésnapját követően, 1860. január 27.-én elhunyt; Lobacsevszkij megelőzte őt ugyan, de legalább egy kicsit hosszabb élet adatott meg neki: 1856. február 24.-én költözött el az élők sorából. Valamivel több, mint hatvankét évet élt.

Kettejük párhuzamos élete és életműve a geometria mezején találkozott. Míg tudomány lesz e Föld kerekén, nevük elválaszthatatlanul összetartozik.

 Az írás megjelent az Új Szó Tudomány rovatában

Minél nagyobb formátumú egy tudós, minél kevésbé értik meg tevékenységét, annál több legenda kering róla. Ha ehhez még jó adag különcség is járul, akkor a legvadabb feltételezések is hihetővé válnak vele kapcsolatban. Nos, Bolyai János, a magyarság egyik legnagyobb zsenije mindkét feltételnek megfelelt. Sőt, még egy harmadiknak is: az előzőek mellett művészi képességekkel is rendelkezett és társasági embernek is kiváló volt.  Számtalan szobor és festmény készült róla, amelyeken néha egyedül, a legtöbbször ugyancsak világhírű matematikus édesapjával ábrázolták, még bélyeget is kiadtak az arcképével. Ennek ellenére azt kell mondanunk, nem tudjuk, hogyan nézett ki. Ugyanis Bolyai egyik kiváló kutatója, Sarlóska Ernő kiderítette, hogy azt a fiatalembert ábrázoló fényképet, amelyet neki tulajdonítottak, 1860-ban ? vagyis a nagy tudós halála után készítették és minden bizonnyal Friedrich Wilhelm Nietzschet, a nagy német filozófust ábrázolja. Ez a tény is rávilágít a legendateremtés természetére: korábban fel sem tűnt senkinek, hogy 1820 táján nem is volt még fényképezés és hogy mekkora tudományos szenzációt jelentett, amikor előkerült Petőfi Sándor daguerrotípiája. Pedig a költő húsz évvel fiatalabb volt Bolyainál.

Bolyai János

 A magyar matematika kétségkívül legnagyobb hatású alakja Kolozsváron, a főtérhez közel született 1802. december 15.-én. Édesapja, Bolyai Farkas, fiát különleges gonddal nevelte: megtanította vívni, hegedülni, a zenei ismereteket és a  matematikát is zsenge korában belé oltotta. János mindezeken a területeken már rendkívül fiatalon nagy jártasságra tett szert. Hatévesen folyékonyan írt és olvasott. Tizenkét éves korában került a kollégiumba. Viszont a felvételi vizsga alapján az első helyett a negyedik osztályba iratkozott be. Tizenöt évesen már édesapját helyettesítette a matematika órákon. Meg is jegyezte az idősebb Bolyai: már semmi újra nem tudja megtanítani. Nem csoda: ekkorra János már kitűnően vívott, hegedült, szépen írt és beszélt latinul, elfogadhatóan németül, alaposan ismerte a fizikát, kémiát, csillagászatot és a matematikát. Egyetlen gond volt csak: akaratossága olykor makacsságba csapott át, amit idegbeteg anyjától örökölt tulajdonságnak tartottak. Ennek következtében uralkodni vágyó volt, olykor kiszámíthatatlan, sokszor pedig túlérzékeny.  Viszont megalkuvásmentes igazságszeretet jellemezte.

Élete első szakaszának kétségkívüli példaképe édesapja volt, aki megtanította az élet legfontosabb dolgaira, sőt a Gauss iránti szeretetet és csodálatot is belé plántálta.

Bolyai Farkas

Bolyai Farkas göttingeni tanulmányai idején ismerkedett meg a nála két évvel fiatalabb Carl Friedrich Gaussal, akivel szoros barátságba került. Gauss leplezetlen csodálattal viseltetett az idősebb Bolyai szellemi képességei iránt, aminek több levelében is tanújelét adta. Amikor Bolyai Farkas hazatért Erdélybe, sűrű levelezés formájában cserélték ki gondolataikat. Csakhogy a magyar tudós Marosvásárhelyről egyre kevésbé tudta figyelemmel követni a matematika fellegvárában zajló eseményeket, így alakult ki az a helyzet, hogy miközben ő a tudomány több területével foglalkozott, valamint műszaki találmányokat fejlesztett ki, többek között egy napjainkig is elismerésre méltó hatásfokkal működő kályhát, Gauss a matematika fejedelmévé nőtte ki magát. Mivel a szorosnak hitt barátság továbbra is fennállt közöttük, Bolyai Farkas úgy tervezte, Gauss figyelmébe ajánlja tehetséges fiát, aki ugyancsak szentként tisztelte a német matematikust.

Ezen a téren érte az első nagy csalódás:  a szellem óriása emberként kicsinyesnek bizonyult, Bolyai Farkas levelére még csak nem is válaszolt. Mivel nem volt annyi anyagi fedezetük, hogy Göttingába mehessen, egy év múltán a bécsi tüzérségi akadémia hallgatója lett. Bár a katonai fegyelemért az ifjú Bolyai nem nagyon lelkesedett, de elfogadta a lehetőséget, tekintve, hogy ebben az időben a monarchiában talán itt volt a legjobb matematikaoktatás. Felvételi vizsgája ezúttal is oly kiválóan sikerült, hogy a hatéves intézmény negyedik évfolyamában kezdhetett. A következő évfolyamban már a legjobbak között volt, amivel elnyerte az akadémia parancsnoka, János főherceg támogatását. A hatodik évfolyamot a második legjobb eredménnyel végezte, ezért azok között volt, akiket még egy évig felsőbb műszaki képzésben részesítettek.  Eközben még arra is maradt ideje, hogy matematikai kérdésekkel foglalkozzon.

Bolyai János paralellái

Édesapja óva intette a ?paralellákkal? való foglalatoskodástól. Ez persze csak olaj volt a tűzre, annál inkább ezt tette. Nagy érdeklődéssel figyelte töprengéseit akadémiai matematikatanára, Johann Walter von Eckwehr. Sokkal szorosabb viszonyt ápolt Szász Károllyal, a nagyenyedi kollégium későbbi matematika- és fizika tanárával, akivel közösen kezdtek azon gondolkodni, hogy a párhuzamosokról szóló ötödik posztulátumot a végtelen sugarú körrel helyettesítsék.

Akadémiai tanulmányait 1823-ban fejezte be alhadnagyi rangban. A temesvári erődítési munkákhoz vezényelték. Ekkor írta édesapjának a híres mondatot ?Semmiből egy ujj más világot teremtettem… mind az, valamit eddig küldöttem, tsak kártyavár a´toronyhoz képest?. Csakhogy apja ekkor még nem volt felkészülve a gyökeresen új gondolatok befogadására, ami a fiában nagy csalódást keltett. 1826-ban aztán elküldte kidolgozott elméletét tanárának,  Eckwehrnek. Az anyag elveszett, nem tudható, hogy mi volt a válasza. Végül is 1832-ben jelent meg nyomtatásban Bolyai Farkas főműve, a Tentámen három függelékének egyikeként, emiatt a szó latin megfelelőjéből Appendix lett a neve. Az 1831 júniusában készült különlenyomatok egyikét Bolyai elküldte egykori iskolatársának, Gaussnak, abban reménykedve, hogy megdicséri. A válasz ledorongoló volt: ?Ha avval kezdem, hogy nem szabad dicsérnem, bizonyára egy pillanatra meghökkensz; de mást nem tehetek; ha meg dicsérném, ez azt jelentené, hogy magamat dicsérem: mert a mű egész tartalma, az út, amelyet fiad követett és az eredmények, melyekre jutott, majdnem végig megegyeznek részben már 30-35 év óta folytatott meditatiómmal. Valóban, ez rendkívül meglepett engemet?. Állítólag nem volt szándékában eredményeit közölni, mert ezt csak kevesen értenék meg és csak később kívánta papírra vetni. A továbbiakban: ?Nagyon meglepett tehát, hogy e fáradságtól már most megkímélhetem magamat, és nagyon örvendek, hogy éppen régi jó barátom fia az, aki engem oly csodálatos módon megelőzött?.  A levélből egyidejűleg két dolog is kiderül: Gauss nem vitatja Bolyai János elsőségét, viszont fenntartja magának a jogot, hogy ő mindezt előbb megalkotta, csak épp nem volt ideje papírra vetni. Nos, erre mondják, hogy savanyú a szőlő. Gauss ugyanis túl nagy matematikus volt ahhoz, hogy fel ne ismerje: egész tevékenységének a koronája lehetett volna az ?abszolut geometria? megalkotása.

Közben Bolyai János meglehetősen gyorsan emelkedik a katonai pályán: 1830-ban főhadnagy Lembergben, a mai Lvovban, 1832-ben százados Olmützben. A következő évben, bár János főherceg támogatását bírja, saját kérésére nyugállományba helyezték. Ezt követően 15 éven át nagyszülei domáldi birtokán él.  Mondani sem kell, hogy ennek is megvan a saját előzménye: eredetileg Marosvásárhelyre költözött édesapjához, de izgága természete miatt gyorsan összekülönböztek, a vita hevében párbajra hívja ki az idősebb Bolyait. Ekkor már legendák keringenek a női nem terén végzett hódításairól, amelyeknek nem egy esetben párbaj lett a vége és állítólag több ellenfelét is halálosan megsebesítette. Ehhez érdemes hozzáfűzni, hogy ebben az időben már a katonatiszteknek tiltották a párbajt, ha fény derült rá, komoly következményekkel kellett a résztvevőknek számolniuk. Elvégre is egy modern hadsereg nem azért képezi ki hosszú éveken át tisztjeit, hogy aztán halomra szurkálják egymást. Bolyai Farkas sem habozott: egyszerűen kipenderítette fiát a házból. Érdemes hozzátenni, egyáltalán nem gyávaságból tette: volt olyan jó vívó, mint izgága fia. Sőt a táncparketten is a legnehezebb ellenfélnek bizonyult volna.  

Bolyai János azzal, hogy a domáldi birtokot igazgatja, egyre messzebb kerül főművétől, ráadásul gyakorlati érzék híján anyagilag is egyre nagyobb gondokba kerül. Egyetlen biztos bevételi forrása katonai nyugdíja, viszont mivel korán elhagyta a sereget, ez igazán sovány megélhetési forrás. 1834-ben  összeköltözik szerelmével, Kibédi Orbán Rozáliával, de nem veheti el, tekintve, hogy nincs elég pénze a kaukcióra. Ugyanis azzal, hogy nyugállományban van, még nem mentesül a katonai előírások alól.1849-ben törvényesíti a házasságát, amikor a Habsburgok trónfosztása miatt a kaukciós előírás nem érvényes. Viszont 1850-ben megsemmisítik a házasságát. Két gyermekük született: Dénes és Amália.

Azt követően, hogy szakított élettársával, 1846-ban édesapjához Marosvásárhelyre költözött. Két évvel később Bolyai Farkas megszerzi Nyikoláj Ivanovics Lobacsevszkij hiperbolikus térelméletét. Az orosz zseni hiperboloid felületek segítségével bizonyítja be, hogy a háromszög szögeinek összege nem feltétlenül száznyolcvan fok és hogy párhuzamosok sincsenek az ilyen síkban. Bolyai János viszont a síkban felvett párhuzamosokkal dolgozott, arra jutva, hogy ezek ugyancsak metszhetik egymást, ha a sík nem tökéletes. Vagyis nála a sík csak határesetként szerepel. Ezzel több, mint kétezer éves elméleten, az euklideszi geometrián léptek túl mindketten.

Bolyai főműve az Appendix lapjain

Amikor kiderült, hogy mekkora jelentősége van felismerésüknek, kitört az elsőbbségi vita. Ezért érdemes rögzíteni a tényeket: Bolyai 1823-ban írja meg elméletét apjának, 1826-ban küldte el bécsi tanárának. A kézirat elveszett. Lobacsevszkij elméletét 1826-ban nyújtotta be a kazányi egyetemen. Ez a kézirat is elveszett. Lobacsevszkij a Kazanyszkij Vesztnyik 1829-30-as évfolyamában közölte felismeréseit. Az Appendix különnyomata 1831-ben jelent meg. Bizonyítható, hogy egész Európában ekkor még nem ismerték Lobacsevszijt. Ráadásul gyökeresen eltér a két megoldás egymástól. A vita valójában happy enddel végződött: 1894-ben nemzetközi konferenciát tartottak A matematikai tudományok bibliográfiájáról címen Henri Poincaré elnökletével, ezen az egyik fejezet címe ?Géométrie de Bolyai et Lobatschewsky?, ezzel összeforrt  a nevük, mindkettejük munkásságát egyaránt elismerte a tudós társadalom.

Bolyai szelleme még egy emberöltő múltán is kísértett: több tudománytörténész szentül meg volt róla győződve, hogy Alfred Nobel azért nem alapított matematikai díjat, mert harminc évvel fiatalabb szerelmét a nagy magyar matematikus, Kapyvári Kapi elszerette tőle. A magyar Casanova tüzértiszt volt, izgága, párbajhős, a parkett ördöge, körmönfont nőcsábász és a geometria megújítója. Nagy kár, hogy nem Bolyai volt az, ő ugyanis 1860. január 27.-én elhunyt.

A magyar matematika évszázadok óta a világ élvonalába tartozik. Elég csak König Gyula, Beke Manó, Kürschák József, Rados Gusztáv, Riesz Frigyes, Fejér Lipót, Turán Pál,  Lánczos Kornél, Neumann János, Rényi Alfréd, Rényi Kató, Péter Rózsa, Erdős Pál, Lovász László munkásságára utalni, vagy az utóbbi két emberöltő alkalmazott matematikusainak sikereit áttekinteni: Kemény Jánosnak a BASIC programozási nyelvet, Simonyi Károlynak – aki a közeljövőben Charlesként látogat el a világűrbe – a WORD és az EXCEL programokat köszönheti a világ. Valamennyiük közül kiemelkedik a legnagyobb: Bolyai János, aki teljes joggal jelentette ki, hogy a semmiből egy új világot teremtett. A kétezer éves, euklideszi geometrián való túljutást nemcsak tehetsége, páratlan zsenije, de  nagymértékben családi indíttatása tette lehetővé: édesapja, Bolyai Farkas egyszerre volt tanára, tudóstársa, szellemi ellenfele  de mentora is, tekintve, hogy korszakalkotó munkája  is  apja elméletének továbbgondolásaként és legjelentősebb kiadványának függelékeként jelent meg.

Életrajzok, visszaemlékezések, sőt irodalmi alkotások garmadája jelent meg e két jelentős matematikusról, ennek ellenére a közvélemény aránylag keveset tud az apáról, aki mintha világhírű fia árnyékába került  volna. Holott megérdemli a kiemelt figyelmet, hiszen az első volt a nagy magyar matematikusok sorában.

Bolyai Farkas régi székely nemesi családban született 1775. február 9.-én a Nagyszeben melletti Bolya községben. Szolgabíró édesapja, felfigyelve hatéves fia rendkívüli tehetségére ? aki nemcsak írni és olvasni tanult meg, de folyékonyan beszélt latinul –   szekérre rakja, hogy a híres nagyenyedi kollégiumba vigye. Tanítói nemcsak  szeretettel fogadták, de nagy felhajtást is csaptak körülötte, ami nem tett jót a csodagyereknek kikiáltott kisfiúnak, aki fejben tudott többjegyű  számokat négyzetre és köbre emelni ugyanígy fejben végezte a gyökvonást is, ráadásul tízéves korára megtanulta a német, a francia, az angol, a héber és a román nyelvet, tetszés szerinti témában latin verseket rögtönzött. Ezt a képességét kihasználva cirkuszi attrakcióként mutogatták az iskolai rendezvényeken. A gyakori szereplés aláásta egészségét, szabályos hallucinációk vettek rajta erőt. Évtizedekkel később fia, tudomást szerezve erről, nemes egyszerűséggel hóhéroknak nevezte édesapja egykori tanárait. A kényszerű népszerűségnek viszont pozitív oldala is volt: felfigyelt a kis Bolyaira Kemény Simon báró, aki 1788-ban felkérte őt nyolcéves fia mellé mentornak. A tizenhárom éves Bolyai Farkas ezzel egyszerre tanulótársa és házitanítója lett a kis Simonnak. Ráadásul további tanulmányait is biztositotta, hiszen a gazdag nemes fizette minden kiadását. Két év házitanítóskodás után a báró a két fiatalt a kolozsvári református kollégiumba íratja. Bolyai sokoldalú érdeklödésére és tehetségére jellemző, hogy rajziskolába is jár, ahol figyelemreméltó eredményeket ér el. Tanárai nagy tehetséget látnak benne, ezért elhatározza, hogy történelmi tájképfestő lesz. Csakhogy közben a vegyészet is érdekli, ami végül döntően beleszól életébe egy csaknem tragikus baleset révén: az általa készített puskapor felrobban, amely hajszál híján a szeme világát is kioltja. Olyan súlyos sérüléseket szenved, hogy az orvosok egy életre eltanácsolják minden, látást megterhelő tevékenységtől. A marosvásárhelyi Bolyai Múzeumban ma is megtekinthető két festménye és egy szénrajza, amelyek egyértelművé teszik festői tehetségét. Az irodalom is szenvedélyesen érdekelte. Diákkorában színészkedéssel foglalkozott, a későbbiekben verseket és drámákat írt.

A két fiatal 1795 őszén nyugat-európai tanulmányútra indul. Bolyai az út elején, Zilahon megbetegszik, Kemény Simon egyedül folytatja útját. Ez csaknem sorfordítóvá válik, mivel barátja után utazván megáll Bécsben, ahol a tüzértiszti  akadémia teljesen lenyűgözi. Részben feléleszti benne a vegyészet iránti vonzalmát, részben örömmel tapasztalja, hogy milyen komoly matematikai felkészültségre van a tüzéreklnek szükségük. Elhatározza, hogy a császárvárosban marad.  Szerencsére Kemény Simon Jénából küldött könyörgő levele még a felesketés előtt megérkezik, ennek hatására mégiscsak lemond katonai karrierjéről. Hogy milyen mély nyomokat hagyott benne a bécsi néhány hónap, az abban is lemérhető, hogy János fia el is végzi ezt az iskolát.

Kemény Simon a göttingai egyetem jogi karára iratkozott be, Bolyai a matematikai előadásokat hallgatja.  A diákok rendszeresen Carl Felix Seyffernek, az egyetem csillagászattani professzorának házában vitaesteket rendeznek. Ezek keretén belül gyakran a geometriáról is vitatkoztak, amely Bolyai erőssége volt. Itt ismerkedett meg és kötött egy életre szóló barátságot a két évvel fiatalabb Carl Friedrich Gaussal. Egy alkalommal a bástyasétányon beszélgetve felvázolta német barátjának egy újfajta, Euklideszen túlmutató geometria kidolgozásának szükségességét. A forradalmi gondolatok hatása alatt Gauss elragadtatva géniusznak nevezte Bolyai Farkast. Barátságuk annyira elmélyült, hogy Bolyai bejáratossá vált Gaussék braunschweigi házába.

Tanulmányai befejeztével 1799-ben hazatért, ahol Kemény báró felkérő levele várta, hogy legyen kisebbik fiának is a nevelője.  Érdekes módon a legtöbbet a következő évek eseményeiről épp a Gaussnak írt leveleiből tudhatjuk. Az egyik, 1800-ból származóban beszámol a családi gazdaságban pusztító tűzvészről, majd  egy, a lelkében dúlóról is: ?Közben én is megégettem magam egy másfajta tűznél. Van itt egy tizennyolc éves magyar lány, aki származásilag egyenrangú velem, és Neked már nem kell magyaráznom, hogy kimodhatatlanul szeretjük egymást. Nem éppen tündöklő szépség, de szerfelett vonzó, szelíd, finom lelkű, fortepianón is játszik, kellemesen énekel kottából és nagyon jó zenei ízlése van?. Szíve választottját, Árkosi Benkő Zsuzsannát egy év múltán feleségül veszi, a kis  domáldi családi birtokon telepednek le. A következő évben megszületik János fiuk.  A falusi idillnek – amelynek kedves kellékeként Bolyai Farkas eltérítette a helyi patakot, hogy a kertjén keresztül follyon ? az erdélyi református egyházkerület felkérése 1804-ben vet véget, amikor meghívják őt a marosvásárhelyi kolégium matematika-fizika-kémia professzorának.  Ugyanebben az évben megírja a párhuzamos egyenesekről szóló értekezését, amelyet Gaussnak is elküld. Sajnálatos módon a bizonyítási eljárásba hiba csúszott, amit Gauss sasszeme azonnal észrevett. Barátja válaszlevelének kézhezvétele után ismét nekirugaszkodott a kérdésnek, sikertelenül. Ma már tudjuk, sziszifuszi munka volt: az általa tárgyalt módon nem bizonyítható az euklideszi tétel. A kudarc hatására az irodalom felé fordul, több drámát és verseket ír, valamint német és angol műveket fordít magyarra. Anyagi gondjainak enyhítésére egy új kályhatípust fejleszt ki, amelyet hamarosan egész Erdélyben általánosan használni kezdenek gazdaságossága miatt, gyógyszerek előállításával és állatgyógyászattal is foglalkozik. Közben folytonosan a matematika kérdései gyötrik. Gyors egymás után jelenteti meg könyveit.1830-ban írja meg Az arithmetika eleje című művét, 1832-ben hagyja el a nyomdát legejelentösebb alkotásának a Tentamennek első kötete ? ennek a függeléke Bolyai János korszakalkotó munkája az Appendix -, a következö évben a második kötet, 1834-ben az Arithmetikának, geometriának és physikának eleje. A későbbiek folyamán elméleteit németül is kiadja. Tevékenységének hazai elismeréseként 1832-ben a Tudós Társaság ? a Magyar Tudományos Akadémia jogelődje ? a levelező tagjainak sorába választja. Viszont ő az igazi elismerést a régi baráttól,  Gausstól várta.

Bolyai Tentamenje

Bírálatra elküldte neki a latin nyelvű Tentamen mindkét kötetét. Sajnos a matematika fejedelme nem értékelte kellőképpen, csupán az ?alaposságra és önnállóságra való becsületes törekvést? emelte ki, holott a munka tartalmazza Bolyai legfontosabb felismeréseit, a végszerű területegyenlőséget, a Bolyai-algoritmust, az új sorkonvergencia kritériumot, a párhuzanmosságot helyettesítő axiómákat. Ez nagyon bántotta őt. Ami viszont mélyen fájt neki, az, hogy fiának, Jánosnak korszakalkotó Tértanát, amit az Appendix tartalmaz,  Gauss egyetlen félmondattal intézte el, miszerint ezt a kérdést ő korábban már megoldotta, csak éppen nem publikálta. Holott ennél sokkal kisebb jelentőségű eredményeiről mindig sietett beszámolni. Csak az utókor szolgáltatott nekik igazságot: elismerték  a Tentamen jelentőségét, fiáról pedig elnevezték az új tudományágat: szerte a világon Bolyai-Lobacsevszkij geometriaként jegyzik. Az orosz zseni Bolyai Jánostól függetlenül jutott el a nem-euklideszi tételek felfedezéséhez.

Magánélete ugyancsak szerencsétlenül alakult. Szeretett felesége 1821-ben elhunyt. Másodszor 1824-ben ismét megnősül, ebből a házasságból két gyermek születik. Második felesége ugyancsak korán, 1833-ban, tödőbajban meghal. Közben fiával is egyre feszültebb a kapcsolata. Holott nemcsak családi, de tudományos kérdésekben is egymásra vannak utalva. A matematika Mekkájában tevékenykedő Gaussal szemben, ahol a világ legjelesebb tudósai folytatnak vitákat egymással, ők  erdélyi magányukban csupán egymással  tudják megosztani gondolataikat, dilemmáikat.

Hetvenhat évesen, 1851-ben nyugdíjba vonult. A következő évben kiadja Kurzer Grundiss (Rövid vázlat) című művét, amelyben összefoglalja saját matematikai gondolatait, valamint elemzi János fia és  Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij művét. Ezzel a könyvével ő vált a Bolyai-Lobacsevszkij geometria első propagátorává. Ezt követően csendes visszavonultságban élt 1856. november 20.-án bekövetkezett haláláig. Végrendeletében azt kívánta, hogy temetése minden ceremónia nélkül tartassék meg, még harangszót sem akart, csak annyit: ?az oskola csengettyűje szólhatna?.  Az első nagy magyar matematikust a marosvásárhelyi  református temetőben helyezték örök nyugalomra.